Красота научных теорий: простота и всеобщность?А если это так, то что есть красотаИ почему ее обожествляют люди?Сосуд она, в котором пустота,Или огонь, мерцающий в сосуде?Н. Заболоцкий
Что такое красота? Этот вопрос часто вызывает споры. Кто-то считает, что восприятие красоты чисто интуитивно, кто-то говорит, что чувство прекрасного воспитывается, а кто-то вообще утверждает, что однозначного ответа на этот вопрос не существует — о вкусах, мол, не спорят.
Вопрос о красоте и прекрасном волновал умы человечества еще в античности. Описывая устройство мироздания, Платон говорит о мире идей и мире вещей: идеи прекрасны сами по себе, вещи же обладают красотой в той мере, в какой они отражают свет идей. Но как увидеть этот свет?
Математические понятия как идеальные объекты
Не претендуя на всестороннее рассмотрение этой проблемы, обратимся к красоте математических построений, поскольку математические объекты (числа, геометрические фигуры и т. п.), с одной стороны, — это то, чем мы привыкли оперировать, а с другой — это то, что, по-видимому, наиболее близко к миру идей. Действительно, можем ли мы увидеть, осязать или еще как-то почувствовать, что такое число «три» (не цифра 3, а именно число, то, что обозначается цифрой)? Или увидеть в природе математическую точку или прямую? Нет, поскольку математическая точка не имеет размера (точнее, имеет «нулевой» размер), в то время как любой «точечный объект» в реальном мире вещей имеет размер, выражающийся положительным числом, возможно очень малым, но все-таки не нулевым. Представить разумом мы это можем, но чувственно воспринять — увы….
Возможно, поэтому Аристотель вслед за Пифагором считал, что познанию прекрасного способствует математика.
Но можно ли утверждать, что число или геометрическая фигура прекрасны? Я бы поостерегся, чтобы не быть осмеянным людьми, далекими от математики. Однако среди профессиональных ученых часто можно встреть суждения о том, красива или нет та или иная научная идея или теория. Например, Поль Дирак, британский физик-теоретик, один из создателей квантовой физики, был убежден, что если некоторая теория красива, то Природа обязательно ею должна воспользоваться. Когда П. Дирак был в гостях в Московском университете на кафедре теоретической физики, профессор Дмитрий Дмитриевич Иваненко попросил его написать что-нибудь мелом на стене кабинета. Эта надпись, и сейчас бережно хранимая под стеклом, гласит: «Physical laws should have mathematical beauty» (Физические законы должны обладать математической красотой).
Что же это такое — математическая красота? Если формула, описывающая связь между физическими величинами, слишком громоздка, то есть содержит слишком много символов, и если она справедлива только для узкого круга явлений, вряд ли кто-то всерьез будет ею восхищаться. Но если формула или теория применима к широкому кругу явлений и связывает, казалось бы, очень далекие друг от друга величины, то она отражает великую идею единства мира и ее красота вряд ли будет оспорена. Такова, скажем, знаменитая формула А. Эйнштейна E=mc2, связывающая массу m, энергию E и скорость света в вакууме c. Графическая лаконичность сделала ее привлекательной даже для дизайнерского оформления плакатов, а смысл, заключенный в ней, сделал возможным использование практически неисчерпаемых источников энергии.
Примем как гипотезу утверждение, что математическая формула или теория тем ближе к прекрасному, чем более она емкая и краткая, и попробуем проиллюстрировать ее конкретными примерами.
Многие исследователи вопроса красоты математических построений принимают за идеал формулу Эйлера. Выглядит она достаточно элегантно:
и соединяет воедино четыре самых распространенных в математике числа: единицу 1, мнимую единицу i (квадрат которой равен -1), число π = 3.1415926535… (отношение длины окружности к ее диаметру), и основание натурального логарифма е = 2,7182818284…, определенное соотношением
О красоте арифметики
В качестве примера продемонстрируем красоту арифметики, рассматривая способы построения отрицательных, рациональных, действительных и мнимых чисел. Следуя объявленным канонам прекрасного, покажем, что «новые» числа появляются из стремления определить простейшие математические операции (сложение, вычитание, умножение, деление и др.) для наиболее широкого класса чисел.
Нас всех учили в школе, что натуральные числа (1, 2, 3 и т. д.) получаются как результат последовательного счета. Они естественно возникают в нашем сознании при рассмотрении разных количеств предметов (не важно, каких, — яблок, мячей, игрушек и т. п.), и научить счету этих предметов можно довольно просто. Так же просто ввести операцию сложения целых чисел — складывая 2 и 3, надо лишь продолжить счет после 2 еще три раза, и в результате получим 5. Складывать можно любые два натуральные числа, в результате получается тоже некоторое вполне определенное натуральное число.
Можно решить и «обратную» задачу — т. е. узнать, с чем надо сложить число 2, чтобы получить 5. Для этого из 5 надо вычесть 2. Однако это можно сделать не для всех натуральных чисел — вычитать в этом случае можно только из большего меньшее. Это ограничивает операцию вычитания в отличие от сложения, возможного для всех пар натуральных чисел, и стремление распространить операцию вычитания на любую такую пару чисел приводит нас к необходимости ввести новые элементы — отрицательные числа и ноль. Мы можем представить их сначала как результат стремления сделать нашу арифметику «прекрасной» — как некоторую максимально широкую структуру чисел-идей, которые мы можем складывать и вычитать, и не связывать отрицательные числа с какими-то реальными объектами «мира вещей», а принять, что изначально отрицательные числа и ноль появились как идеальные сущности, введенные для полноты операции вычитания. Применение им можно найти позже, например — как количественную характеристику долга при финансовых расчетах, убыток в стаде в результате каких-то бедствий и т. п.
Точно так же можно задать дробные числа. Вначале можно определить произведение двух целых чисел, положительных или отрицательных. Обратная операция — деление — может быть выполнена только для тех чисел, которые нацело делятся на делитель. Определим новые элементы — результаты деления целого делимого на целый делитель, назовем их рациональными числами. Теперь для всех рациональных чисел можно выполнять все четыре арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление(1). Кажется, достигнута искомая общность и достаточная простота — арифметика рациональных чисел очень красива! И опять: рациональные числа появляются как идеи, дополняющие множество целых чисел, исходя из принципа наибольшей применимости операции деления. А потом уж найдем, какие явления «мира вещей» описывают такие числа: например, 1/8 — это доля торта, поделенного так, чтобы всем восьми гостям (считая и хозяина) досталось по кусочку.
Но есть еще операция возведения в степень, например в квадрат. Обратная операция — извлечение квадратного корня — возможна только для неотрицательных чисел, и то не для всех. Выясняется, что квадратный корень из некоторых положительных рациональных чисел нельзя представить в виде рациональной дроби! Для более широкого применения операции извлечения корня пришлось ввести еще новые числа — иррациональные. Арифметические операции с ними оказались довольно сложными, но во имя полноты (а значит, красоты) арифметических операций на такую жертву пришлось пойти. Получившиеся числа (вместе с рациональными) назвали действительными и связали каждое число с точкой на прямой (числовой осью). Выяснилось, что множество всех таких точек заполняет числовую ось без пропусков, и, кажется, мы достигли идеала: с действительными числами можно выполнять операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечение корня. Но вот беда — извлекать квадратный корень можно было только из неотрицательных действительных чисел.
Для следующего шага — извлечения квадратного корня из отрицательного числа — возникла существенная трудность. Вся числовая ось уже заполнена, куда же можно «воткнуть» квадратный корень из минус единицы? Изящное решение состоит в том, чтобы от числовой прямой перейти к числовой плоскости, ввести на ней еще одну, «мнимую» числовую ось, перпендикулярную действительной числовой прямой, и квадратные корни из отрицательных чисел откладывать на этой «мнимой» прямой. Корень из минус единицы назвать мнимой единицей, обозначить ее символом i и связать ее с точкой на мнимой числовой оси. А комплексные числа x+iy, равные сумме действительного и мнимого числа, связать с точкой числовой плоскости: координаты которой дают действительную (x) и мнимую (y) части комплексного числа.
Изначально мнимые числа считались «игрой ума». Но им нашлось прекрасное применение: оказывается, применение комплексных чисел делает многие утверждения математики более общими, а формулы — более компактными. Например, еще из курса средней школы известно, что действительные решения квадратного уравнения
ax2 + bx + c = 0
есть только у тех уравнений, дискриминант которых неотрицателен: b2 - 4ac ≥ 0. Это не очень удобно: всякий раз при решении приходится проверять, выполнено ли это неравенство. Однако у любого многочлена степени n
anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
с действительными коэффициентами an, an-1, …, a1, a0, в том числе и у квадратного трехчлена ax2 + bx + c, ВСЕГДА найдется РОВНО n комплексных корней.
Многие уравнения математической физики и их решения в комплексной записи оказались весьма компактными и на вид более простыми по сравнению с их записью в действительных числах. И здесь «плод ума», возникший из стремления к простоте и общности, привел сначала к абстрактной идее, а потом нашлись реальные системы «мира вещей», которые эти идеи воплощают. Прав был Поль Дирак, утверждавший, что красивая теория обязательно найдет свое применение!
Итак, стремление к красоте, состоящей в наиболее широкой выполнимости основных (простейших) математических операций, привело к построению арифметики комплексных чисел, которой нельзя отказать в красоте и изяществе. И, возвращаясь к утверждению, что прекрасное связано с отблеском идеального, можно заметить, что если какое-то явление или процесс описывается математической теорией, обладающей простотой и связывающей воедино разные стороны реальной жизни, то эта ее простота и общность позволяет нам ощутить прекрасное в окружающем нас мире.
(1) В школе нас учили, что на ноль делить нельзя. Но ведь очень хочется — иначе нарушится принцип всеобщности! Чтобы спасти ситуацию, в математике вводится «бесконечное число» — оно на числовой оси расположено правее всех чисел. И определим, что 0/0=0 (соглашение Лебега).
.